표준편차(standard deviation)를 유도하는 과정

표준편차(standard deviation)를 유도하는 과정을 쓰시오. (가상적인 자료를 5개 이상 제시하면서 표준편차를 구한 뒤 표준편차가 무엇을 의미하는지를 설명하시오.)

 

한 집단에서 얻은 점수가 있다면, 이 점수들은 평균을 중심으로 정상분포곡선을 이루고 있을 것이다. 이러한 점수들의 분포가 평균을 중심으로 많이 퍼져 있는지, 모여 있는지의 정도를 측정하는 것이 변산도이며, 이러한 변산도의 가장 신뢰로운 통계치는 표준편차이다.

표준편차를 유도하는 과정을 설명하기 위해 아래와 같이 N=5인 다섯 개의 가상 자료를 사용한다면,

X	(X-X)	(X-X)2
5	1	1
3	-1	1
2	-2	4
6	2	4
4	0	0

 

각 점수들간의 차이는 평균으로부터 어느 정도 일탈했는지를 알아보는 것이 가장 좋은 방법이다. 각 점수에서 평균을 뺀 값이 편차점수이다. 이러한 편차점수는 +를 가지면 평균치보다 위에, -를 가지면 평균치보다 아래에 있다는 것을 말해준다. 편차점수를 합하여 사례수로 나누어서 평균편차를 구하는데, 평균편차는 항상 0이 되기 때문에 변산도를 측정하는데 적합하지 않다. 그러므로 편차점수를 제곱하여 더 한 후에 사례수로 나누어서 변량을 구한다. 이 변량에 제곱근(루트)를 씌워 표준편차를 구하게 된다.

만일 모집단이라면 σ =

 

표본이라면 s =

 

 

위 자료가 모집단의 자료라면, μ = , N= 이고, 변량은 10/5=2 표준편차는 이다.

여기에서 표준편차는 평균으로부터의 표준간격을 의미한다. 즉, 분포의 점수들이 평균 로부터 간격만큼 퍼져 있다는 것이다.

 

▶ 점수의 분포를 알기 위해서 필요한 것이

① 평균

② 평균에서 얼마나 많이 퍼져 있고, 모여있는지의 정도를 측정하는 변산도이다.-->표준편차

 

▶ 집단의 수가 늘어날수록 표준편차도 커진다.

표준편차는 항상 모집단이 크다.

표본이 모집단과 같아지려면 사례수를 늘린다.